Cours 1ère
Les Polynômes du Second Degré
Le Cours
App : signe de \(a\), signe de \(\Delta\) et courbe
Choisis le signe de \(a\) puis le signe de \(\Delta\) pour découvrir l’allure de la courbe correspondante.
Signe de \(a\)
Signe de \(\Delta\)
👆 Sélectionne les deux signes pour afficher le résultat.
La parabole s’ouvre vers le haut et admet un minimum. Elle coupe l’axe des abscisses en 2 points : deux racines réelles distinctes.
La parabole s’ouvre vers le haut et admet un minimum. Elle touche l’axe des abscisses en 1 seul point : une racine double (tangente à l’axe).
La parabole s’ouvre vers le haut et reste entièrement au-dessus de l’axe des abscisses : aucune racine réelle, aucune intersection.
La parabole s’ouvre vers le bas et admet un maximum. Elle coupe l’axe des abscisses en 2 points : deux racines réelles distinctes.
La parabole s’ouvre vers le bas et admet un maximum. Elle touche l’axe des abscisses en 1 seul point : une racine double (tangente à l’axe).
La parabole s’ouvre vers le bas et reste entièrement en dessous de l’axe des abscisses : aucune racine réelle, aucune intersection.
Quiz : Signe de \(a\) et forme de la parabole
Soit \(f(x) = -3x^2 + 5x – 1\).
Que peut-on dire de sa courbe représentative ?
Quiz : Coordonnées du sommet
Soit \(f(x) = 2x^2 + 4x – 10\).
Quelles sont les coordonnées du sommet \(S(\alpha ; \beta)\) de sa parabole ?
Quiz : Vrai ou Faux ?
VRAI ou FAUX ? 🤔
Si un polynôme du second degré a pour racines \(-2\) et \(5\), alors l’abscisse de son sommet est \(\alpha = 1{,}5\).
Quiz : Tableau de variations
Soit \(g(x) = -3x^2 – 4x + 100\).
Quelles sont les variations de \(g\) ?
📌 Ce que donne la forme canonique
- Le sommet de la parabole est le point \(S(\alpha\,;\,\beta)\).
- Si \(a > 0\) : \(\beta\) est le minimum de \(f\).
- Si \(a < 0\) : \(\beta\) est le maximum de \(f\).
✏️ Exemple : mettre \(f\) sous forme canonique
On donne \(f : x \longmapsto 4x^2 – 8x + 6\).
On a \(a = 4\), \(b = -8\), \(c = 6\).
Étape 1 — On factorise \(a\) sur les deux premiers termes :
Étape 2 — On complète le carré en ajoutant et soustrayant \(\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2 = 1\) :
Étape 3 — On sort le \(-1\) de la parenthèse en le multipliant par \(a = 4\) :
Étape 4 — On simplifie :
Le sommet de la parabole est \(S(1\,;\,2)\).
Comme \(a = 4 > 0\), la valeur \(2\) est le minimum de \(f\).
Quiz : Forme canonique
Quelle est la forme canonique de \(f(x) = x^2 – 12x + 27\) ?
Quiz : Résoudre une équation du second degré
Quelles sont les solutions de l’équation \(x^2 – 3x – 10 = 0\) ?
Quiz : Forme factorisée
On sait que le polynôme \(f(x) = x^2 – 3x – 10\) a pour racines \(-2\) et \(5\).
Quelle est sa forme factorisée ?
Quiz : Vrai ou Faux ?
VRAI ou FAUX ? 🤔
L’équation \(x^2 + 4x + 5 = 0\) admet deux solutions réelles.
Quiz : Résoudre une équation du second degré
Combien de solutions admet l’équation \(3x^2 – 6x + 3 = 0\) ?
Applications
Soit \(f\) une fonction polynôme de degré 2 définie sur \(\mathbb{R}\).
On sait que :
- \(f(1) = 5\)
- L’ordonnée à l’origine est \(9\).
- Le point \((-1\,;\,11)\) appartient à la représentation graphique de \(f\).
Quelle est l’expression de la fonction \(f\) ?
Corrigé complet
Comme \(f\) est un polynôme de degré 2, on pose :
Étape 1 — Trouver \(c\)
L’ordonnée à l’origine est \(f(0) = c\), donc :
Étape 2 — Trouver \(a\) et \(b\)
En utilisant \(f(1) = 5\) :
En utilisant \(f(-1) = 11\) :
On résout le système en additionnant les deux équations :
Puis on trouve \(b\) :
Conclusion :
Vérification : \(f(1) = -1 – 3 + 9 = 5\) ✓ | \(f(-1) = -1 + 3 + 9 = 11\) ✓ | \(f(0) = 9\) ✓
Résoudre l’équation suivante dans \(\mathbb{R}\) :
Corrigé complet
On identifie les coefficients :
On calcule le discriminant \(\Delta\) :
\(\Delta > 0\) : l’équation admet deux solutions distinctes.
On simplifie \(\sqrt{96}\) :
On calcule les deux solutions :
L’équation a deux solutions : \(x_1 = -1-\sqrt{6}\) et \(x_2 = -1+\sqrt{6}\).
Résoudre l’équation suivante dans \(\mathbb{R}\) :
Corrigé complet
On identifie les coefficients :
On calcule le discriminant \(\Delta\) :
\(\Delta < 0\) : l’équation n’admet pas de solution dans \(\mathbb{R}\).
💡 Lorsque \(\Delta < 0\), la parabole associée ne coupe jamais l’axe des abscisses : la fonction ne s’annule jamais.
L’ensemble solution est \(\emptyset\) : l’équation n’a aucune solution réelle.
Résoudre l’équation suivante dans \(\mathbb{R}\) :
Corrigé complet
On identifie les coefficients :
On calcule le discriminant \(\Delta\) :
\(\Delta = 0\) : l’équation admet une racine double.
L’équation a une unique solution : \(x = 1\).
On peut vérifier : \(3 \times 1^2 – 6 \times 1 + 3 = 3 – 6 + 3 = 0\) ✓
Étudier les variations du polynôme suivant :
Corrigé complet
On identifie les coefficients :
Étape 1 — Sens de la parabole
\(a = 3 > 0\) : la parabole est tournée vers le haut (sourit 😊). La fonction admet donc un minimum.
Étape 2 — Sommet de la parabole
L’abscisse du sommet est :
L’ordonnée du sommet (valeur minimale de \(f\)) est :
Le sommet de la parabole est donc \(S\!\left(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\right)\).
Étape 3 — Tableau de variations
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Variations de \(f\) | \(+\infty\) | ↘ | \(\dfrac{2}{3}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Conclusion : \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,\dfrac{1}{3}\right]\) et croissante sur \(\left[\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty\right[\). Elle admet un minimum de \(\dfrac{2}{3}\) atteint en \(x = \dfrac{1}{3}\).
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Déterminer les variations de \(f\).
Corrigé complet
On identifie les coefficients :
Étape 1 — Sens de la parabole
\(a = 2 > 0\) : la parabole est tournée vers le haut (sourit 😊). La fonction admet donc un minimum.
Étape 2 — Sommet de la parabole
L’abscisse du sommet est :
L’ordonnée du sommet (valeur minimale de \(f\)) est :
Le sommet de la parabole est donc \(S\!\left(-\dfrac{3}{4}\,;\,-\dfrac{25}{8}\right)\).
Étape 3 — Tableau de variations
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-\dfrac{3}{4}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Variations de \(f\) | \(+\infty\) | ↘ | \(-\dfrac{25}{8}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Conclusion : \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,-\dfrac{3}{4}\right]\) et croissante sur \(\left[-\dfrac{3}{4}\,;\,+\infty\right[\).
Elle admet un minimum de \(-\dfrac{25}{8}\) atteint en \(x = -\dfrac{3}{4}\).
Quiz : Un problème concret
Une athlète lance un javelot. Sa hauteur \(h(t)\), en mètre, à l’instant \(t\), en seconde, est donnée par :
\(h(t) = -0{,}5t^2 + 8t + 2\)
À quel instant le javelot atteint-il sa hauteur maximale ?
PDF des Exercices & Corrigés
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